\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
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\usetikzlibrary{arrows.meta, decorations.pathreplacing, 3d}
\usepackage{subcaption}
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\matrx}[1]
{
	\ensuremath
	{
		\left (
		\begin{matrix}
			#1
		\end{matrix}
		\right)
	}
}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{进动}

	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5 \linewidth]{precession}
		\caption
		{
			示意图 
			1. 带电旋转小球在磁场中受到力矩 
			2. 这一小球的自转轴自身将不断转动 
			3. 一小段时间内的$\dd L$
			}
		\label{fig:precession}
	\end{figure}

	\footnote{参考：科学空间 《刚体的进动》。本笔记使用AI辅助}
	我们简要讨论进动现象，进动指的是旋转物体的自转轴方向本身也在空间中缓慢转动的现象。
	在进动过程中，系统的角动量大小不变，但是方向改变。
	
	尽管旋转的陀螺是一个有趣的经典例子（某宝上能以很低的价格买到陀螺仪摆件），
	但这往往让我们被不必要的几何与运动学细节困扰。
	相较之下，电磁学的例子似乎在数学上更简单。
	
	假设有一个正在自转的带电小球，并且空间中存在垂直向上的匀强磁场$\bvec B$。小球的磁矩为
	\begin{equation}
		\bvec \mu = \frac{q}{2m} \bvec L
	\end{equation}
	其中$q$是电荷量，$m$是质量，$\bvec L$是小球自转的角动量。
	由于这个磁矩，小球受到磁场施加的力矩：
	\begin{equation}
		\bvec \tau = \bvec \mu \times \bvec B
	\end{equation}
	根据角动量定理，力矩将改变小球的角动量：
	\begin{equation}
		\dv{\bvec L}{t} = \bvec \tau
	\end{equation}
	结合这三者，得到
	\begin{equation} \label{eq_ll}
		\dv{\bvec L}{t} = \frac{q}{2m} \bvec L \times \bvec B
	\end{equation}
	由于$\bvec L \times \bvec B$总是垂直于$\bvec L$，因此预期$\bvec L$在运动中大小不变而方向改变，这符合我们提及的进动的特征。
	可见，进动的产生要求力矩始终垂直角动量方向。
	
	我们进一步分析进动自身的角速度。将$\bvec L$分解为平行$\bvec B$的$\bvec L_z$与垂直$\bvec B$的$\bvec L_{xy}$。
	根据叉乘的性质，平行分量的贡献为$0$，只需要考虑垂直分量$\bvec L_{xy}$，其大小为$L \sin \theta$。
	如图所示，假设一小段时间$\dd t$内，角动量在力矩下轻微改变$\dd L$，根据几何关系，其为：
	\begin{equation}
		\dd L = L \sin \theta \dd \Theta
	\end{equation}
	而根据角动量定理
	\begin{equation}
		\dd L = \tau \dd t
	\end{equation}
	因此，自转轴绕$z$轴的旋转角速度，即进动角速度为
	\begin{equation}
		\Omega = \dv{\Theta}{t} = \frac{\tau}{L \sin \theta}
	\end{equation}
	即进动的角速度和系统本身角动量与外加力矩有关。
	
	不严谨地说，进动相当于角动量的“角动量”。
	但要非常注意的是，
	与平动惯性或转动惯性不同，进动本身不具有“惯性”，进动的存在依赖于外力矩的作用。

	一旦理解了自转带电小球的进动，将其运用到自转陀螺也是水到渠成，具体细节参考本笔记引用文献，此处不再赘述。
	这一进动现象可以解释旋转陀螺的稳定性：为什么旋转的陀螺更不容易倒下？
	因为旋转的陀螺具有角动量，这允许其产生进动，而进动本身可以“消耗掉”一部分重力力矩，因此旋转的陀螺更不容易在重力矩下倒下。
	换而言之，静止的陀螺不具有角速度，无法产生进动现象，因此除非重力矩严格为零，否则其将倒下。
	
	顺带一提，\formula{eq_ll} 也被称为Landau Lifshitz 方程，一般写为
	\begin{equation}
		\dv{\bvec \mu}{t} = - \gamma \bvec \mu \times \bvec B
	\end{equation}
	$\gamma$是系数，负号是由于这一方程常用于半经典地描述带负电粒子的自旋运动（例如电子）。
	根据实际需要，往往还会引入等效磁场、唯象阻力等。
	
\end{document}

